Matematik bir dil midir, yoksa gerçekliğin yapısal haritası mı? (13)

Doğadaki matematiksel düzenin dikkat çekici örneklerinden biri olan ayçiçeği tohumlarının spiral dizilimi / Fotoğraf: Engin Akyurt-Unsplash

Matematik üzerine yürütülen tartışmaların en eski ve en derin sorularından biri matematiğin mahiyetine ilişkindir. Matematik nedir? İnsan tarafından geliştirilmiş bir dil midir? Doğanın içinde zaten var olan ilişkilerin keşfi midir?

İnsan zihninin ürettiği sembolik bir sistem midir? Yoksa varlığın yapısına ilişkin daha temel bir gerçekliğin görünür hâle gelmesi midir? Bu sorular yalnızca matematik felsefesinin değil, aynı zamanda bilgi teorisinin, bilim felsefesinin ve ontolojinin merkezinde yer almaktadır.

Çünkü matematiğin ne olduğu sorusuna verilecek cevap, insanın dünyayı nasıl anladığı sorusuyla doğrudan ilişkilidir.

Gündelik hayatta matematik çoğu zaman bir dil olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımlamanın güçlü yanları vardır. Gerçekten de matematik semboller kullanmaktadır. Sayılar, işlemler, denklemler ve çeşitli gösterimler aracılığıyla düşünceleri ifade etmektedir.

Farklı toplumlar farklı diller konuşabilse de matematiksel semboller büyük ölçüde ortak biçimde kullanılmaktadır. Bu nedenle matematik evrensel bir iletişim aracı gibi görünmektedir. Özellikle modern bilimlerin gelişimiyle birlikte bu anlayış daha da güçlenmiştir.

Fizik, kimya ve mühendislik alanlarında geliştirilen teorilerin büyük bölümü matematiksel ifadeler aracılığıyla kurulmaktadır. Bu durum matematiğin bir dil olduğu fikrini desteklemektedir.

Fakat mesele daha yakından incelendiğinde bu tanımın yeterli olmadığı görülmektedir. Çünkü diller ile matematik arasında önemli farklar bulunmaktadır. Türkçe, Arapça, İngilizce veya Çince gibi doğal diller tarihsel süreçler içinde oluşmuş insan ürünleridir.

Kelimeler değişebilir, dil bilgisi kuralları dönüşebilir ve aynı nesne farklı toplumlarda farklı isimlerle anılabilir. Matematiksel ilişkiler ise bu şekilde davranmamaktadır. Bir üçgenin iç açıları toplamı kültürden kültüre değişmemektedir.

Bir dairenin temel özellikleri tarih boyunca aynı kalmaktadır. Pisagor teoremi farklı dillerde farklı biçimlerde ifade edilebilse de temsil ettiği ilişki değişmemektedir¹.

Bu bölüm, konuyla ilgili referans noktalarını içerir. (Related Nodes field)

Bu durum matematiğin sıradan bir dil olmadığını göstermektedir. Matematik yalnızca ilişkileri ifade etmemekte, aynı zamanda bu ilişkilerin kendisine temas etmektedir. Başka bir ifadeyle matematik ile gerçeklik arasında doğal dillerden daha güçlü bir bağ bulunmaktadır.

Platon bu konuda radikal bir görüş ileri sürmüştür. Ona göre matematiksel yapılar insan zihninden bağımsız bir varlığa sahiptir². İnsan matematiği icat etmemekte, keşfetmektedir. Geometrik ilişkiler insan ortaya çıkmadan önce de vardır.

İnsan zihni bu ilişkileri fark etmekte ve görünür hâle getirmektedir. Bu yaklaşım daha sonra “matematiksel realizm” olarak adlandırılacak düşünce geleneğinin temellerinden birini oluşturmuştur.

Aristoteles ise daha farklı bir çizgi izlemiştir. Ona göre matematiksel yapılar doğrudan fiziksel nesnelerden bağımsız ayrı varlıklar değildir. İnsan zihni gerçek nesnelerde bulunan belirli ilişkileri soyutlayarak matematiksel kavramlar geliştirmektedir³.

Bu yaklaşımda matematik yine gerçeklikle bağlantılıdır; fakat bağlantı Platon’un düşündüğü kadar bağımsız değildir. Matematik gerçek dünyanın belirli yönlerinin soyutlanmasıyla ortaya çıkmaktadır.

Aslında burada tartışılan mesele doğrudan bu çalışmanın temel tezine bağlanmaktadır. Eğer insan zihni matematiksel kavrayışa gerçek cisimlerden hareketle ulaşıyorsa, matematik ne bütünüyle insan zihninin keyfî üretimidir ne de fiziksel dünyadan tamamen bağımsız bir varlık alanıdır.

Matematik gerçeklik içinde bulunan yapısal ilişkilerin zihinsel olarak temsil edilmesidir.

Bir ağacın gövdesi ile dalları arasındaki oranlar insan tarafından üretilmemiştir. Bir nehrin izlediği yol insan zihninin ürünü değildir. Bir kristalin simetrisi veya bir kar tanesinin geometrisi de insanın icadı değildir.

Buna karşılık bu ilişkilerin matematiksel olarak ifade edilmesi insan zihninin faaliyetidir. Matematik tam da bu noktada ortaya çıkmaktadır. Gerçeklik ile zihnin karşılaşma alanında.

Bu nedenle matematiği yalnızca bir dil olarak tanımlamak eksik kalmaktadır. Dil daha çok ifade aracıdır. Matematik ise aynı zamanda keşif aracıdır. İnsan matematik kullanarak daha önce fark etmediği ilişkileri ortaya çıkarabilmektedir.

Modern fiziğin tarihi bunun sayısız örneğiyle doludur. Matematiksel modeller birçok kez doğrudan gözlenmemiş olguların keşfine öncülük etmiştir.

Bunun en dikkat çekici örneklerinden biri gezegen hareketleriyle ilgilidir. Johannes Kepler gök cisimlerinin hareketlerini incelerken belirli matematiksel düzenler keşfetmiştir⁴. Daha sonra Newton bu ilişkileri daha genel yasalar altında birleştirmiştir.

Burada matematik yalnızca gözlemleri kaydetmek için kullanılan bir araç değildir. Aynı zamanda görünmeyen yapıları ortaya çıkaran bir araştırma yöntemidir.

Albert Einstein’ın çalışmaları da benzer bir durumu göstermektedir. Einstein’ın geliştirdiği genel görelilik kuramı büyük ölçüde geometrik düşünce üzerine kurulmuştur⁵. Kütle çekimi bir kuvvet olarak değil, uzay-zamanın geometrik yapısının sonucu olarak yorumlanmıştır.

Burada geometri fiziksel gerçekliğin açıklama aracı hâline gelmektedir. Bu durum matematik ile gerçeklik arasındaki ilişkinin ne kadar derin olduğunu göstermektedir.

Eugene Wigner’in ünlü makalesinde kullandığı ifade bu nedenle dikkat çekicidir. Wigner matematiğin doğa bilimlerindeki “akıl almaz etkinliğinden” söz etmektedir⁶. Gerçekten de matematiksel yapıların fiziksel dünyayı açıklamadaki başarısı uzun süre filozofları ve bilim insanlarını şaşırtmıştır.

Eğer matematik yalnızca insan zihninin keyfî bir ürünü olsaydı, doğayı açıklamakta bu kadar başarılı olması beklenmezdi.

Bu noktada matematiği “gerçekliğin yapısal haritası” olarak düşünmek daha açıklayıcı görünmektedir. Harita arazinin kendisi değildir. Fakat araziyle ilişkilidir. Harita keyfî biçimde oluşturulamaz. Çünkü temsil ettiği yapıya uygun olmak zorundadır.

Matematik de benzer biçimde çalışmaktadır. Matematiksel semboller gerçekliğin kendisi değildir. Fakat gerçeklik içindeki yapısal ilişkileri temsil etmektedir.

Bu temsil sürecinin ilk adımı geometrik tasavvurdur. İnsan zihni gerçekliği biçimler hâlinde kavramaktadır. Daha sonra bu biçimleri ölçmektedir. Ölçüler sayılara dönüşmektedir. Sayılar arasındaki ilişkiler matematiksel yapılara dönüşmektedir. Böylece matematik gerçekliğin soyut haritası hâline gelmektedir.

Burada harita benzetmesi önemli bir noktaya daha işaret etmektedir. Hiçbir harita arazinin bütün ayrıntılarını içermez. Harita belirli ilişkileri seçer ve görünür hâle getirir. Matematik de aynı şekilde çalışmaktadır. Bir ağacın biyolojik tarihi, estetik değeri veya kültürel anlamı matematiksel modele dâhil edilmeyebilir.

Buna karşılık büyüme oranları, dallanma yapısı veya geometrik düzeni matematiksel olarak ifade edilebilir. Matematik gerçekliğin tamamını değil, yapısal yönlerini temsil etmektedir.

Bu nedenle matematik ile gerçeklik arasındaki ilişki karşılıklı bir ilişkidir. Matematik gerçeklikten doğmaktadır. Aynı zamanda gerçekliğin anlaşılmasını sağlamaktadır. İnsan zihni dünyayı gözlemlemekte, düzenleri fark etmekte ve bu düzenleri matematiksel yapılara dönüştürmektedir. Daha sonra aynı matematiksel yapılar kullanılarak dünya yeniden açıklanmaktadır.

Eğitim açısından bakıldığında bu sonuç son derece önemlidir. Eğer matematik gerçekliğin yapısal haritasıysa, matematik öğretiminin de gerçeklikten başlaması gerekir. Haritayı anlamanın yolu araziyi tanımaktan geçmektedir.

Öğrenci önce dünyayı görmeli, sonra dünyadaki ilişkileri fark etmeli ve en sonunda bu ilişkilerin matematiksel ifadelerine ulaşmalıdır. Bugün yaşanan birçok öğrenme güçlüğünün temelinde bu sıralamanın tersine çevrilmiş olması bulunmaktadır.

Matematiğin mahiyetine ilişkin tartışmaların sonunda ulaşılan sonuç bu nedenle oldukça nettir. Matematik yalnızca bir dil değildir. Matematik gerçekliğin yapısal düzenlerinin sembolik ifadesidir. İnsan zihni bu düzenleri keşfetmekte, temsil etmekte ve kullanmaktadır.

Matematik böylece hem bir dil hem bir düşünme biçimi hem de gerçekliğin yapısal haritası hâline gelmektedir. İnsanlığın bilimsel gelişimi de bireyin matematiksel öğrenme süreci de bu temel ilişki üzerine kuruludur.

¹ Elementler, Kitap I, Önerme 47. ² Devlet, VII. Kitap, 527a-531c. ³ Metafizik, Kitap M, 1078a. ⁴ Astronomia Nova, giriş bölümü. ⁵ Relativity: The Special and the General Theory, Bölüm 28. ⁶ The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960, s. 1.