Matematik ve insan zihni: Gerçeklikten soyutlamaya uzanan kavrayış mimarisinin anatomisi (7)

İnsan zihni, çevresindeki karmaşık gerçekliği örüntüler ve geometrik ilişkiler aracılığıyla anlamlandırır / Fotoğraf: Letian Zhang-Unsplah

Matematiğin tarihi incelendiğinde ortaya çıkan tablo ile insan zihninin gelişim süreci arasında dikkat çekici bir benzerlik bulunmaktadır. İnsanlık önce çevresindeki dünyayı gözlemlemiş, daha sonra bu dünyanın içindeki düzenleri fark etmiş, bu düzenleri ölçmüş, ölçüleri sayılarla ifade etmiş ve sonunda genel kurallar geliştirmiştir.

Çocukların zihinsel gelişimi de büyük ölçüde aynı istikamette ilerlemektedir. Önce nesnelerle karşılaşılmakta, daha sonra nesneler arasındaki ilişkiler kavranmakta, ardından ölçme ve karşılaştırma faaliyetleri gelişmekte ve son aşamada soyut düşünce ortaya çıkmaktadır.

Bu paralellik tesadüf değildir. Çünkü matematik, insan zihninden bağımsız bir yerde oluşmuş ve daha sonra insan tarafından öğrenilmiş bir bilgi alanı değildir. Matematik, insan zihninin gerçekliği anlamlandırma biçimlerinden biridir.

Bu nedenle matematiğin nasıl öğretileceğini anlayabilmek için önce insan zihninin nasıl çalıştığını anlamak gerekir.

Modern eğitim sistemlerinin önemli bir kısmı matematiği sonuçlar üzerinden öğretmeye çalışmaktadır. Öğrencinin belirli işlemleri yapabilmesi, formülleri kullanabilmesi ve doğru cevaba ulaşabilmesi başarı göstergesi olarak kabul edilmektedir.

Böyle bir yaklaşım matematiğin dışarıdan görünen tarafına odaklanmaktadır. Oysa zihinsel süreçlerin önemli bir bölümü görünmez alanlarda gerçekleşmektedir. Bir öğrenci bir problemi çözerken yalnızca işlemler yapmaz. Aynı zamanda zihninde çeşitli temsiller kurar, ilişkiler oluşturur, karşılaştırmalar yapar ve farklı kavramlar arasında bağlar geliştirir. Matematiksel kavrayışın asıl merkezi de burada yer almaktadır.

Bu nedenle matematiğin insan zihnindeki yerini anlamak için kavrayışın nasıl oluştuğunu incelemek gerekir. İnsan zihni çevresindeki dünyayı doğrudan sayı olarak algılamaz. Gözler bir ağaca baktığında sayı görmez. Kulaklar bir müzik eserini dinlediğinde denklem duymaz.

İnsan önce biçimlerle, seslerle, hareketlerle ve ilişkilerle karşılaşmaktadır. Zihin bu karmaşık gerçekliği düzenlemeye çalışırken çeşitli temsil sistemleri geliştirmektedir. Matematik bu temsil sistemlerinden biridir.

Burada temsil kavramı özel bir önem taşımaktadır. İnsan zihni gerçekliğin kendisini doğrudan içine alamaz. Gerçeklik son derece karmaşıktır. Her nesne sayısız özellik taşımaktadır. Bir ağacın yapraklarının sayısı, dallarının biçimi, gövdesinin dokusu, bulunduğu toprağın özellikleri ve maruz kaldığı iklim koşulları aynı anda zihinde işlenemez.

Bu nedenle zihin seçme ve sadeleştirme işlemi yapmaktadır. Matematiksel düşüncenin temeli de bu sadeleştirme faaliyetidir.

Bir öğrenci önündeki masaya baktığında başlangıçta belirli bir nesne görmektedir. Daha sonra zihni bu nesneyi belirli bir biçime dönüştürmektedir. Masanın yüzeyi dikdörtgen olarak kavranmaktadır. Ayakları belirli doğrular ve açılar halinde temsil edilmektedir.

Böylece gerçek nesne geometrik modele dönüşmektedir. Bu dönüşüm sırasında nesnenin bütün özellikleri korunmamaktadır. Rengi, üretildiği malzeme veya üzerindeki çizikler geri planda kalmaktadır. Zihin yapısal düzeni ön plana çıkarmaktadır. Matematiksel düşünce tam da burada başlamaktadır.

Bu bölüm, konuyla ilgili referans noktalarını içerir. (Related Nodes field)

Jerome Bruner’in öğrenme teorisi bu süreci anlamada önemli bir çerçeve sunmaktadır. Bruner öğrenmenin 3 temel temsil düzeyi üzerinden ilerlediğini belirtmektedir. İlk düzey eylemsel temsildir. İnsan dünyayı doğrudan deneyimlemektedir.

İkinci düzey imgesel temsildir. Deneyimler zihinsel görüntülere dönüşmektedir. Üçüncü düzey ise sembolik temsildir. İnsan artık görüntüleri ve ilişkileri semboller aracılığıyla ifade etmeye başlamaktadır. ¹ Bu teori matematiksel öğrenme açısından büyük önem taşımaktadır.

Çünkü matematik çoğu zaman doğrudan sembolik düzeyden öğretilmektedir. Oysa zihinsel gelişim eylemsel ve imgesel aşamalardan geçmektedir.

Piaget’nin çalışmaları da benzer sonuçlara işaret etmektedir. Piaget çocukların belirli yaşlara kadar soyut işlemleri gerçekleştiremediğini göstermiştir. ² Bunun nedeni zekâ eksikliği değildir. İnsan zihninin gelişimi belirli aşamalar izlemektedir.

Somut ilişkiler kavranmadan soyut ilişkiler kurulamaz. Bu nedenle matematiksel kavrayışın gelişimi de belirli bir sıralama gerektirmektedir.

Bu sıralamanın merkezinde geometrik tasavvur yer almaktadır. Çünkü insan zihni gerçekliği başlangıçta uzamsal ilişkiler içinde örgütlemektedir. Yakınlık, uzaklık, büyüklük, yön ve hareket gibi kavramlar zihnin ilk işlediği yapılardır.

Sayı daha sonra ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle geometri matematiksel düşüncenin yan alanlarından biri değil, onun temel zeminidir.

İnsan zihni bir nesneyi kavradıktan sonra onu ölçmeye başlamaktadır. Ölçü zihinsel gelişimin önemli dönüm noktalarından biridir. Çünkü ölçü sayesinde nitel farklılıklar niceliksel ilişkilere dönüşmektedir. Büyük-küçük ayrımı artık daha hassas biçimde ifade edilebilmektedir.

Bir nesne diğerinden daha uzun, daha ağır veya daha geniş hale gelmektedir. Böylece sayı ortaya çıkmaktadır.

Sayıların ortaya çıkışıyla birlikte insan zihni yeni bir kapasite kazanmaktadır. Artık farklı nesneler arasında ortak ilişkiler kurulabilmektedir. 3 taş ile 3 elma arasında fiziksel benzerlik bulunmamaktadır. Buna rağmen insan zihni her iki durumda da aynı niceliksel yapıyı görebilmektedir.

Bu durum soyutlamanın ilk büyük başarısıdır. Sayı nesnelerden bağımsızlaşmaya başlamaktadır.

Bunun ardından aritmetik gelişmektedir. Sayılar arasındaki ilişkiler sistematik hale gelmektedir. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri ortaya çıkmaktadır. Fakat insan zihni burada da durmamaktadır. Belirli sayılar arasındaki ilişkilerin ötesine geçerek ortak yapıları araştırmaya başlamaktadır.

Böylece cebir doğmaktadır. Cebir matematik tarihindeki iki büyük soyutlama aşamasıdır. Sayıların kendisinden çok, sayılar arasındaki ilişkiler önem kazanmaktadır.

Bu süreç aslında insan zihninin genel çalışma mantığıyla uyumludur. İnsan belirli olayları gözlemledikten sonra onların arkasındaki ortak düzenleri araştırmaktadır. Birkaç örnekten hareketle genel kurallar geliştirebilmektedir.

Bu yetenek bilimsel düşüncenin de temelini oluşturmaktadır. Matematiksel kavrayış ile bilimsel kavrayış arasındaki bağ burada ortaya çıkmaktadır.

Immanuel Kant’ın bilgi teorisi bu konuda önemli bir katkı sunmaktadır. Kant’a göre insan zihni pasif bir kayıt cihazı gibi çalışmamaktadır. ³ Zihin dış dünyadan gelen verileri düzenlemekte, sınıflandırmakta ve belirli yapılar içine yerleştirmektedir.

Uzay ve zaman bu yapıların en temel olanlarıdır. Matematiksel düşünce de büyük ölçüde bu düzenleme faaliyetinin ürünüdür. İnsan dünyayı yalnızca görmez; aynı zamanda onu belirli biçimlerde yeniden kurar.

20'nci yüzyılın sonlarında bilişsel bilim alanında yapılan çalışmalar da benzer sonuçlara ulaşmıştır. George Lakoff ve Rafael Núñez matematiksel kavramların bedenlenmiş deneyimlerden doğduğunu ileri sürmektedir, ⁴ İnsan hareket eder, yön bulur, nesneleri taşır, uzaklıkları hisseder ve çevresiyle sürekli etkileşim içinde yaşar.

Matematiksel kavramlar bu deneyimlerin soyutlaşmış biçimleri olarak ortaya çıkmaktadır. Bu yaklaşım matematiğin gerçeklikten kopuk bir semboller sistemi olmadığına işaret etmektedir.

Burada eğitim açısından önemli bir sonuç ortaya çıkmaktadır. Eğer matematiksel kavrayış gerçeklikten başlayarak gelişiyorsa, matematik eğitiminin de aynı yolu izlemesi gerekir. Öğrenciye doğrudan semboller sunulduğunda öğrenme yüzeysel kalmaktadır.

Buna karşılık gerçek cisimlerden başlayan, geometrik tasavvura geçen, ölçü ve sayı ilişkilerini görünür hale getiren bir yaklaşım zihnin doğal gelişim çizgisiyle uyum sağlamaktadır.

Modern eğitim sistemlerinde yaşanan birçok güçlük bu uyumsuzluktan kaynaklanmaktadır. Öğrenci formülleri ezberleyebilmekte, fakat onların neyi temsil ettiğini kavrayamamaktadır. Problemleri çözebilmekte, fakat çözümün gerçeklik içindeki karşılığını görememektedir.

Bunun nedeni matematiksel kavrayış zincirinin son halkalarının öğretilip ilk halkalarının görünmez hale gelmesidir.

Oysa insan zihninin matematiksel yolculuğu gerçek cisimlerle başlamaktadır. Geometri bu gerçekliği düzenlemektedir. Sayılar onu ölçmektedir. Aritmetik ilişkileri görünür hale getirmektedir. Cebir bu ilişkileri genelleştirmektedir.

Fizik ise değişim dünyasına uygulamaktadır. Böylece matematik yalnızca bir bilgi alanı olmaktan çıkmakta, insan zihninin gerçekliği anlama mimarisi haline gelmektedir.

Bu nedenle matematik üzerine düşünmek aynı zamanda insan zihni üzerine düşünmektir. Matematik tarihinin incelenmesi ile bilişsel gelişimin incelenmesi arasındaki paralellik burada ortaya çıkmaktadır. İnsanlığın bilgi üretme süreci ile bireyin öğrenme süreci aynı temel doğrultuyu izlemektedir.

Gerçeklikten başlayıp soyutlamaya ulaşan bu yolculuk matematiğin de insan zihninin de ortak hikâyesidir.

¹ Jerome S. Bruner, The Process of Education, Cambridge: Harvard University Press, 1960, s. 44. ² Jean Piaget, The Psychology of Intelligence, London: Routledge, 1950, s. 133. ³ Saf Aklın Eleştirisi, A51/B75. ⁴ George Lakoff ve Rafael E. Núñez, Where Mathematics Comes From, s. 15.