Matematik ve fizik: İlişkilerin dilinden değişimin bilimine (6)

Gerçek cisimlerden başlayan, geometrik tasavvurla devam eden, ölçü ve sayı kavramlarıyla genişleyen ve cebirsel ilişkilere ulaşan matematiksel yolculuk, insan zihninin karşısına yeni bir problem çıkarmaktadır. Geometri biçimleri açıklayabilmekte, aritmetik nicelikleri görünür hâle getirebilmekte, cebir ise bu nicelikler arasındaki genel ilişkileri ifade edebilmektedir.

Buna karşılık gerçeklik durağan değildir. İnsan çevresinde sürekli değişim gözlemlemektedir. Ağaçlar büyümekte, nehirler akmakta, mevsimler dönüşmekte, gök cisimleri hareket etmekte ve canlılar doğup ölmektedir. Varlığın en temel özelliklerinden biri hareket ve değişimdir.

Matematiksel düşünce belirli bir olgunluğa ulaştığında karşılaştığı temel soru artık sayıların veya şekillerin ne olduğu değil, değişimin nasıl anlaşılabileceği sorusudur. Fizik bu sorunun sistematik cevabı olarak ortaya çıkmaktadır.

Modern eğitim sistemlerinde matematik ve fizik çoğu zaman birbirinden ayrılmış disiplinler hâlinde öğretilmektedir. Öğrenci bir derste matematiksel işlemler öğrenmekte, başka bir derste fiziksel olayları incelemektedir. Bu ayrım öğretim açısından belirli kolaylıklar sağlasa da iki alan arasındaki tarihsel ve düşünsel ilişkiyi görünmez hâle getirmektedir.

Oysa fizik ile matematik arasındaki bağ son derece derindir. Fizik değişimin bilimidir; matematik ise değişimin dilidir. Fiziksel olaylar matematiksel ilişkiler aracılığıyla ifade edilebildiği ölçüde bilimsel açıklamaya dönüşmektedir.

Bu bölüm, konuyla ilgili referans noktalarını içerir. (Related Nodes field)

Bu ilişkiyi anlamak için yeniden insan zihninin gerçeklikle ilk karşılaşmasına dönmek gerekir. Bir çocuk hareket eden bir nesneyi izlediğinde başlangıçta onun hızını hesaplamaz. Hareketi fark eder. Nesnenin yer değiştirdiğini görür.

Daha sonra bazı nesnelerin daha hızlı, bazılarının daha yavaş hareket ettiğini ayırt etmeye başlar. Bu aşamada hâlâ sayı yoktur. Ortada bulunan şey değişimin gözlemlenmesidir. İnsan zihni başlangıçta hareketi nitel olarak kavramaktadır. Niceliksel açıklama daha sonra ortaya çıkmaktadır.

Bu durum insanlık tarihindeki gelişimle de paralellik göstermektedir. Antik toplumlar gökyüzünü gözlemlemiş, güneşin ve ayın hareketlerini izlemiş, mevsimlerin dönüşünü fark etmiş ve yıldızların konumlarını kaydetmiştir.

İlk astronomik çalışmaların temelinde sayıdan çok gözlem bulunmaktadır. İnsan önce değişimi fark etmiş, daha sonra bu değişimin düzenli özelliklerini araştırmaya başlamıştır. Matematik bu araştırmanın aracı hâline gelmiştir. ¹

Burada önemli olan nokta, değişimin ancak daha önce kurulmuş olan matematiksel kavrayış üzerine oturabilmesidir. İnsan bir nesnenin hareket ettiğini söyleyebilmek için önce mekân kavramına sahip olmalıdır. Bir nesnenin yer değiştirdiğini anlayabilmek için başlangıç ve bitiş noktalarını ayırt edebilmelidir.

Bu nedenle fiziksel düşünce geometrik kavrayış üzerine inşa edilmektedir. Bir cisim belirli bir uzay içinde hareket etmektedir. Hareketin anlaşılması için öncelikle uzayın anlaşılması gerekir.

Aristoteles’in fizik anlayışı bu konuda öğretici bir örnek sunmaktadır. Aristoteles hareketi doğanın temel özelliklerinden biri olarak görmekteydi. ² Ona göre evrendeki her varlık belirli bir değişim süreci içindeydi. Fakat Aristoteles’in matematiksel araçları sınırlı olduğu için hareketin niceliksel analizi tam olarak geliştirilemedi.

Hareket açıklanıyor, fakat ölçülemiyordu. Matematik ile fizik arasındaki güçlü birleşme daha sonraki dönemlerde gerçekleşecekti.

Bu birleşmenin önemli dönüm noktalarından biri Galileo Galilei ile ortaya çıkmıştır. Galileo doğanın matematik diliyle yazılmış bir kitap olduğunu ifade etmektedir. ³ Bu düşünce bilim tarihinde büyük bir dönüşümü temsil etmektedir.

Çünkü artık fiziksel olayların açıklanabilmesi için matematiksel ilişkilerin ortaya konulması gerekmektedir. Bir cismin düşüşü, bir merminin hareketi veya bir gezegenin yörüngesi sayı ve ölçü aracılığıyla ifade edilmeye başlanmıştır.

Galileo’nun çalışmalarında dikkat çeken nokta, fiziksel olayları geometrik ve aritmetik ilişkilere dönüştürmesidir. Hareket eden bir cisim belirli bir zaman aralığında belirli bir mesafe kat etmektedir. Böylece hareket, mesafe ve zaman arasındaki ilişki görünür hâle gelmektedir.

İnsan zihni burada yeni bir aşamaya geçmektedir. Artık yalnızca nesneleri veya sayıları değil, değişen nicelikler arasındaki ilişkileri incelemektedir.

Bu süreç Isaac Newton ile birlikte daha da ileri taşınmıştır. Newton’un geliştirdiği hareket yasaları ve diferansiyel hesap yöntemleri, değişimin matematiksel olarak incelenmesini mümkün hâle getirmiştir. ⁴ Burada dikkat edilmesi gereken nokta, diferansiyel hesabın boşlukta ortaya çıkmamış olmasıdır.

Gerçek cisimlerden başlayan uzun kavrayış zinciri sonunda değişimi açıklayabilecek matematiksel araçlara ulaşmıştır. Geometri uzayı anlamayı sağlamış, aritmetik ölçüyü mümkün kılmış, cebir ilişkileri genelleştirmiş ve nihayet fizik bu ilişkileri hareket dünyasına uygulamıştır.

Bu noktada matematiksel kavrayışın temel algoritması daha açık biçimde görünmektedir. İnsan önce cismi görmektedir. Cisim geometrik temsil kazanmaktadır. Geometrik temsil ölçülmektedir. Ölçü sayıya dönüşmektedir. Sayılar arasındaki ilişkiler cebirsel yapılara dönüşmektedir.

Cebirsel yapılar değişen olaylara uygulanınca fizik ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle fizik matematikten bağımsız bir alan değildir. Fizik matematiksel kavrayışın değişim dünyasına yönelmiş hâlidir.

René Descartes’ın analitik geometriyi geliştirmesi bu açıdan büyük önem taşımaktadır. Çünkü Descartes geometrik uzayı sayılarla ifade etmeyi başarmıştır⁵. Böylece hareket eden bir cismin konumu matematiksel olarak gösterilebilir hâle gelmiştir.

Bu gelişme olmadan modern fiziğin ortaya çıkması mümkün görünmemektedir. Uzay ve sayı arasındaki ilişki kurulmadan hareketin matematiksel açıklaması da eksik kalacaktır.

İnsan zihni açısından bakıldığında da aynı süreç gözlemlenmektedir. Bir öğrenci başlangıçta hareketi görmektedir. Daha sonra hareketin belirli bir yol üzerinde gerçekleştiğini fark etmektedir. Ardından yol ölçülmekte, zaman ölçülmekte ve iki nicelik arasındaki ilişki kurulmaktadır.

Son aşamada hız kavramı ortaya çıkmaktadır. Hız doğrudan gözle görülen bir şey değildir. Hız, mesafe ile zaman arasındaki ilişkinin matematiksel ifadesidir. Böylece fiziksel kavramların önemli bir bölümü matematiksel ilişkilerden doğmaktadır.

Jean Piaget’nin bilişsel gelişim çalışmaları çocukların hareket ve değişim kavramlarını aşamalı biçimde geliştirdiğini göstermektedir. ⁶ Başlangıçta çocuk hareketi yalnızca gözlemlemektedir. Daha sonra hareketin düzenli özelliklerini fark etmeye başlamaktadır.

Sonraki aşamalarda ise hareketi niceliksel ilişkiler içinde değerlendirebilmektedir. Bu süreç matematiksel kavrayış ile fiziksel kavrayış arasındaki yakın bağı ortaya koymaktadır.

George Lakoff ve Rafael Núñez’in bilişsel matematik yaklaşımı da benzer sonuçlara ulaşmaktadır. Onlara göre matematiksel kavramların önemli bir bölümü hareket deneyimlerinden türemektedir. ⁷ İnsan ileri gitmeyi, geri dönmeyi, yaklaşmayı, uzaklaşmayı ve yön değiştirmeyi deneyimlemektedir.

Daha sonra bu deneyimler soyut matematiksel yapılara dönüşmektedir. Fiziksel dünya ile matematiksel dünya arasındaki ilişki bu nedenle dışsal değil, yapısaldır.

Modern eğitim sistemlerinde matematik ile fizik arasındaki bağın zayıf görünmesinin temel nedenlerinden biri öğretimin çoğu zaman sürecin sonundan başlamasıdır. Öğrenci doğrudan formüllerle karşılaşmaktadır. Hız, ivme, kuvvet veya enerji belirli denklemler şeklinde sunulmaktadır.

Oysa bu kavramların her biri gerçek cisimlerden başlayan uzun bir kavrayış zincirinin ürünüdür. Formüller bu zincirin son halkasında yer almaktadır. Başlangıçta ise gerçeklik bulunmaktadır.

Bilim tarihine daha geniş açıdan bakıldığında da aynı tablo ortaya çıkmaktadır. İnsanlık önce doğayı gözlemlemiştir. Daha sonra doğadaki düzenleri fark etmiştir. Bu düzenleri geometrik biçimlere dönüştürmüştür. Ardından ölçmüş, sayısallaştırmış ve genelleştirmiştir.

Fizik bu uzun sürecin sonunda ortaya çıkan sistematik bilgi alanıdır. Bu nedenle fizik ile matematik arasındaki ilişki araçsal değil, kurucu bir ilişkidir.

Gerçek cisimden başlayan yolculuk burada yeni bir aşamaya ulaşmaktadır. Geometri varlığın biçimini açıklamış, aritmetik biçimin ölçüsünü görünür hâle getirmiş, cebir ilişkileri genelleştirmiş ve fizik bu ilişkileri değişim dünyasına taşımıştır.

İnsan zihninin bilgi üretme süreci de bilim tarihinin gelişim çizgisi de aynı doğrultuda ilerlemektedir. Matematik ve fizik arasındaki bağ bu ortak kökten doğmaktadır. Değişimi anlamak isteyen insan, önce biçimi ve ölçüyü anlamak zorundadır.

Çünkü hareket eden şey her zaman belirli bir biçim taşıyan ve belirli ölçülere sahip olan gerçek bir cisimdir.

¹ Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, 1972, s. 103. ² Fizik, Kitap III, 200b. ³ Galileo Galilei, Il Saggiatore, 1623, s. 171. ⁴ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, önsöz bölümü, s.

1. ⁵ La Géométrie, Birinci Kitap, s. 299. ⁶ Jean Piaget, The Child's Conception of Movement and Speed, New York: Basic Books, 1970, s. 22. ⁷ George Lakoff ve Rafael E. Núñez, Where Mathematics Comes From, s. 126.